Cours de Mécanique Quantique P.M

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Chapitre A

Le formalisme de la mécanique quantique

 

 INTRODUCTION

                                                                                 

                                                                                        Spectre de raies, hydrogène

 

La mécanique quantique a été introduite afin d'apporter une interprétation des observations de faits scientifiques en spectroscopie et en optoélectronique, de décrire les systèmes physiques, d'en prévoir les propriétés et de discuter leurs évolutions.

Ces systèmes sont les structures atomiques, les molécules, les particules de faible énergie. Pour ces systèmes les valeurs possible de l'énergie sont imposées par les structures et toute mesure d'une grandeur apporte une perturbation non contrôlable de l'état du système.

 

Les expériences dans ces domaines ont concerné l'émission de lumière par des atomes, les spectres émis par des molécules, et les interactions ondes électromagnétiques - systèmes atomiques.

 

Ces recherches sont associées à des noms célèbres: effet photoélectrique 1Hertz (1887), quantum d'énergie 2Planck (1900), le photon 3Einstein (1905), modèles de 4Bohr (1913) et de 5Sommerfeld (1916), principe d'incertitude de 6Heisenberg (1927), le spin introduit par 7Uhlenbeck et Goudsmit (1926), et le principe d'exclusion de 8Pauli (1925).

Observations, expérimentations et mesures ont permis de préciser la notion de niveaux d'énergie discrets des électrons dans un atome.

 

Les physiciens ont émis des hypothèses empiriques en introduisant des "nombres quantiques", quantifications de l'énergie (n) et du moment cinétique (l, ml) d'un électron dans un atome, pour obtenir un modèle de l'atome décrit avec "la théorie des quanta". Ils ont introduit aussi des propriétés intrinsèques (s, ms) avec le spin de l'électron. Ces travaux permettent de définir l'état de l'électron dans un atome par la donnée de nombres quantiques (n, l, ml, s, ms ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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1. FORMULATION DE LA MECANIQUE QUANTIQUE

Une formulation nouvelle pour l'étude des systèmes quantiques est apparue aux cours des années 1925-1930, la mécanique quantique, conséquence des travaux de 9Schrödinger, 8Pauli, 6Heisenberg. Elle est proposée ci-dessous.

 

Cette formulation de la mécanique quantique peut être présentée, basée sur trois axiomes.

 

Formulation de la mécanique quantique: trois axiomes

 

Axiome 1

Tout état d'un système quantique doit être déterminé par la connaissance d'une fonction de ses coordonnées { q } et du temps t: Y(q,t) désigne cette fonction d'état qui est souvent appelée "fonction d'onde" du système.

 

Axiome 2

A toute grandeur physique (énergie, position, quantité de mouvement, moment angulaire… ) il est convenu d'associer un opérateur, notons G un de ces opérateurs. Les valeurs propres de l'opérateur G sont les seules valeurs que la grandeur physique peut avoir dans le système étudié.

 

Axiome 3

La fonction Y(q,t) est une solution de l'équation d'évolution du système, équation de Schrödinger (1926)

 

         -h2/(8p2m) . DY(q,t) + V(q,t) . Y(q,t)  =  i.h/(2p) . Y(q,t)/t

 

(m désigne la masse du système, V(q,t) est la fonction énergie potentielle du système et D l'opérateur laplacien).

 

L'équation de Schrödinger est dépendante du temps, elle est aussi non relativiste.

Cette formulation considère que le carré du module de Y(q,t) est une densité de probabilité.

 

 

   Erwin Schrödinger                     Max Plank  Description de cette image, également commentée ci-après

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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2. Y(q,t): FONCTION D'ETAT (ou fonction d'onde du système)

L'axiome 1 postule l'existence d'une fonction Y(q,t) du temps et des coordonnées { q } qui définissent le système quantique.

L'axiome 3 indique que Y(q,t) est une des solutions de l'équation de Schrödinger.

 

Le physicien devra résoudre cette équation différentielle.

Le physicien devra déterminer, parmi les solutions, la fonction d'onde du système.

 

Cette fonction doit pouvoir tout "nous dire" sur le système étudié, elle doit permettre l'accès à toutes les informations: ceci est le point de départ de cette mécanique quantique que nous voulons bâtir.

 

2.1 Définitions (vocabulaire!)

Etat d'un système

L'espace formé par l'ensemble des coordonnées { q } définissant la configuration du système est nommé "Espace de Configuration" du système. Nous le notons { E }, dq est l'élément de volume de cet espace.

La notation { q } désigne l'ensemble des coordonnées { q1, q2, … qn } définissant le système.

 

Probabilité

La détermination du système s'obtient en considérant que la probabilité pour qu'une mesure des coordonnées effectuée sur le système donne la valeur q0 dans l'intervalle dq autour de la valeur q0, s'écrit*:

 

         | Y(q0,t) |2dq .                                                                                                                          (1)

 

Nombreux théoriciens parlent d'une interprétation probabiliste de la fonction d'onde du système.

 

 

 

 

 

 

 

*La notation | Y(q,t) |2 est la notation des nombres complexes | Y(q,t) |2 = Y*(q,t).Y(q,t), en désignant par Y*(q,t)

le complexe  conjugué du nombre Y(q,t).

 


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2.2 Propriétés de la fonction d'état Y

Cette formulation probabiliste impose deux propriétés immédiates à la fonction Y.

Facteur de phase

La fonction Y est définie à un facteur de phase eia près.

Ceci est évident puisque les nombres Y(q,t) et Y(q,t).eia   ont le même module.

 

Norme

L'interprétation probabiliste conduit à la première relation exprimant que la somme des probabilités est égale à l'unité

          òE | Y(q,t) |2  dq = 1 .                                                                                                      (2)

La fonction Y est de carré sommable et sa norme est égale à 1.

 

Choix du Physicien

 Le physicien ne retient que les fonctions de carré sommable, normées, continues et à dérivées continues.

 

Produit scalaire

L'espace fonctionnel ainsi défini par toutes ces fonctions a la structure d'un "Espace de Hilbert". Sur cet espace il est notamment possible de définir un produit scalaire de deux fonctions Y et z par la relation

         <Y(q,t), z(q,t)> = òE Y(q,t)*.z(q,t).dq .                                                                           (3)

 

Deux fonctions sont dites orthogonales lorsque leur produit scalaire est égal à 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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3. NOTION D'OPERATEURS

L'axiome 2 introduit la notion d'opérateurs associés aux grandeurs physiques du système quantique étudié.

 

3.1 Définitions (vocabulaire)

Equation aux valeurs propres d'un opérateur

Soit "A" un opérateur défini dans un espace fonctionnel noté { F }. 

L'équation (4)

         A.fµ(q) = aµ.fµ(q)                                                                                                                 (4)

dans laquelle aµ est un scalaire, fµ une fonction de { F },

est l'équation aux valeurs propres de l'opérateur A.

Le scalaire aµ désigne la valeur propre associée à la fonction propre fµ de l'opérateur.

 

Spectre d'un opérateur

Rappelons que le "spectre" de l'opérateur A est formé de toutes ses valeurs propres aµ .

Le spectre d'un opérateur peut être discontinu (les valeurs propres forment une suite discontinue de valeurs  a1, a2,…al … ); par exemple les opérateurs de moment cinétique, de spin, l'opérateur Hamiltonien.

Le spectre d'un opérateur peut être continu (les valeurs propres forment une suite continue de valeur a(l)); par exemple l'opérateur "position".

L'ensemble de ces fonctions { fµ }est l'ensemble des fonctions propres de A

 

 

 

 

 

 

 


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3.2 Exemple: opérateur, valeurs propres, fonctions propres

Cet exemple considère un système quantique à un seul degré de liberté, qui est une rotation autour de l'axe Oz (figure 4).

Il peut être une représentation d'une molécule di-atomique symétrique en rotation autour de son axe nucléaire.

Le système a un seul degré de liberté j représenté sur la figure ainsi que l'expression de l'opérateur "moment cinétique" autour de Oz.

 

 

équation aux valeurs propres

Les observations en "théorie des quanta" permettent d'écrire l'équation aux valeurs propres de Lz sous la forme:

         Lz.fm(j) = m.h.fm(j)                                                                                                            (5)

avec m un nombre entier, h = h/2p et fm la fonction propre correspondant à la valeur propre m.h . .

         Les valeurs propres sont des multiples de h .

         Le spectre est l'ensemble {m h} .

 

détermination des fonctions propres

Il faut résoudre l'équation différentielle (5).

En remplaçant Lz par son expression, les fonctions propres normées fm(j) sont obtenues en faisant le calcul détaillé ci-dessous.

L'équation aux valeurs propres de Lz s'écrit

         -i.h.dfm(j)/dj = m.h fm(j)                   soit                   dfm(j)/fm(j)  = i.m.dj

et par intégration

         fm(j) = C.exp(i m j).

La constante C est calculée en normant fm :

          òE fm(j)* .fm(j) dj = 1                       soit                 C = (2.p)-1/2 .

Les fonctions propres de l'opérateur Lz s'écrivent alors:

         fm(j) = (2.p)-1/2.exp(i.m.j) .                                                                                                (6)

 

Il est facile de vérifier que ces fonctions sont orthogonales en calculant le produit scalaire de deux fonctions:

 

         <fm(j), fn(j)> =  òE fm(j)* .fn(j) dj       soit      <fm(j), fn(j)> = dmn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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3.3 Ensemble "Complet"

Dans un espace fonctionnel il est souvent commode d'écrire une fonction, notons Y cette fonction, sous la forme d'une combinaison linéaire de fonctions propres orthonormées {gµ} d'opérateurs définis dans cet espace.

Lorsque ce développement est possible, l'ensemble {gµ} est dit "complet" et la fonction peut s'écrire sous la forme

         Y(q,t) = Sn vn(t).gn(q) .                                                                                                          (7)

Il est important de noter que si pour un système la fonction gi est la fonction d'onde du système, alors

         vi =1   et   vj = 0  pour  j non égal à  i  .

Il est maintenant possible de développer le formalisme pour atteindre la notion de valeur d'une grandeur physique.

 

3.4 Opérateur et interprétation probabiliste de Y(q,t)

L'introduction d'opérateurs conduit à l'expression de la valeur moyenne d'une grandeur et à introduire la probabilité d'une mesure.

 

3.4.1 Valeur moyenne d'une grandeur physique

La probabilité pour que les coordonnées aient telle valeur {q} est connue, elle est donnée par l'équation (1). L'expression de la valeur moyenne de la grandeur physique a(q), notée < a > s'écrit:

 

         < a > = òE| Y(q,t) |2  a(q) dq                                                                                                             (8)

 

a(q) représente la valeur de la grandeur physique a lorsque les coordonnées du système ont la valeur q.

 

Nous ne connaissons pas a(q). Par contre, nous avons associé à la grandeur a l'opérateur noté A.

Le formalisme conduit alors à écrire:

 

         < a > = òE Y(q,t)*.[A Y(q,t)].dq                                                                                             (9)

 

notation qui signifie que l'opérateur A agit sur la fonction d'onde Y du système.

 

Dès que la fonction d'onde du système dans un état déterminé est connue,

nous savons calculer la valeur moyenne de chaque grandeur physique.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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3.4.2 Conséquence 1: valeur exacte d'une grandeur

Pour introduire la notion de"valeur exacte", calculons la valeur moyenne d'une grandeur a lorsque la fonction d'onde est une fonction propre fn de l'opérateur A.

La fonction fn vérifie l'équation (10)

 

         A.fn(q) = an.fn(q) .                                                                                                                     (10)

 

Alors la valeur moyenne de a se calcule (Eq. 9) simplement en introduisant l'égalité (10) dans l'équation (9):

 

         < a > = òE fn*.(A fn).dq      soit     < a > = an .

 

Ce calcul montre que si la fonction d'onde est fonction propre d'un opérateur A, alors la valeur de la grandeur physique est la valeur propre correspondante: elle est exactement connue.

 

La réciproque se conçoit aisément: si une grandeur physique a est exactement connue, alors la fonction d'onde du système est une fonction propre de l'opérateur associé à cette grandeur.

 

3.4.3 Conséquence 2: interprétation des coefficients  vi(t)

La valeur moyenne de a peut être écrite en fonction des coefficients vi(t) en introduisant le développement (7) de la fonction d'état Y(q,t) sur un ensemble complet {fµ} dans l'équation (9):

 

         < a > = òE Si vi(t)*fi(q)*.[A Sn vn(t).fn(q)].dq .                  

 

Sous les conditions de convergence uniforme de la série il est possible de permuter ò et S pour écrire:

 

         < a > = Si Sn an.vi(t)*.vn(t).òE fi(q)*fn(q)].dq                  

 

et la propriété d'orthogonalité des fonctions {fi } permet d'écrire

 

         < a > = Si Sn an.vi(t)*.vn(t).din

soit

         < a > = Si ai.|vi(t)|2 .                                                                                                                  (11)

 

Cette expression de la valeur moyenne de la grandeur a montre que la quantité |vi(t)|2 est une mesure de la probabilité pour que la grandeur a ait la valeur ai , donc la probabilité pour que le système ait pour fonction d'onde fi , fonction propre de l'opérateur A .

 

Calcul de ces coefficients:

L'ensemble complet {fi} étant supposé orthonormé il suffit de former le produit scalaire du développement (7) par fi pour obtenir:

 

         vi(t) = òE fi(q)*.Y(q,t).dq .                                                                                                   (12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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3.5. Exemple: Rotateur rigide

Système en rotation autour d'un axe Oz (3.2) dans un état défini par le fonction d'onde:

         Y(j) = A.cos2(j) .

Ce système peut être une molécule diatomique rigide, en rotation autour de son axe nucléaire. Il possède un seul degré de liberté, j variant de 0 à 2p radians.

Déterminons les diverses valeurs observables* de la grandeur physique moment angulaire Lz , leur probabilité, la valeur moyenne de Lz.

 

Il suffit de développer la fonction Y(j) sur l'ensemble (Eq. (7)) des fonctions propres {fm(j)} de l'opérateur LZ . Les seules valeurs observables sont les valeurs propres de LZ et les probabilités sont mesurées par le carré des coefficients du développement.

 

En utilisant l'expression (6) des fonctions propres et la relation d'Euler

         cos(j) = (eij + e-ij )/2

il vient

         Y(j) = A.(2p)1/2.[f2(j) + 2.f0(j) +f-2(j)] /4 .

 

Les seules valeurs observables sont

2.h    ,    0h    ,    -2h

avec les probabilités

p.A2/8    ,    p.A2/2    ,    p.A2/8.

(il est vivement recommandé de retrouver ce résultat en appliquant la relation (12))

Pour calculer la constante A il suffit d'écrire que Y(j) est normée:

         A2.òE cos4(j) dj = 1 ,

il est ici plus rapide d'écrire que la somme des probabilités est égale à 1:

 

         p.A2/8 + p.A2/2 + p.A2/8 = 1 ,

 

soit    A = 2.(3p)-1/2 .

 

La valeur moyenne de LZ s'obtient en utilisant l'expression (9) ou bien la relation (11):

 

< LZ > = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

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* On appelle "valeur observable" d'une grandeur physique toute valeur de cette grandeur qui peut être le résultat d'une mesure effectuée sur le système étudié dans l"état considéré.

 


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3.6. Propriété de ces opérateurs

Les valeurs des grandeurs physiques sont des nombres réels et cela s'écrit sous la forme

 

         < a > = < a >* .

 

L'opérateur A associé vérifie donc (eq. (9)) la relation suivante

 

          òE Y(q,t)*.[A Y(q,t)].dq =  òE [A Y(q,t)]*.Y(q,t).dq                                                               (13)

 

qui exprime une propriété d'un opérateur hermitique.

 

                                             A est un opérateur hermitique:  <Y, AY)>.= <AY, Y)>

 

Il est bien connu que les valeurs propres d'un opérateur hermitique sont des nombres réels, ce formalisme est bien cohérent. (Q/R).

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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4. APPENDICE

    Photon, Opérateurs, Hamiltonien, "principe" de correspondance

 

Ce paragraphe a pour objet des présentations formelles souvent utilisées dans la littérature et conduisant aux expressions de grandeurs physiques et d'opérateurs.

 

4.1 Ondes et particules  - 3Einstein 1905, 10De Broglie 1924 -

- grandeurs caractérisant une particule:

          masse m, quantité de mouvement p=m.v, énergie E = m.c2 .

 

- grandeurs caractérisant un photon:

          masse nulle, fréquence n, vitesse c, énergie E = h.n .

         La quantité de mouvement p du photon peut être introduite en

         considérant une particule imaginaire (Q/R) de masse m et vitesse c

         par le calcul formel suivant

                     p = m.c            soit       p = m.c2/c        soit       p = h.n/c  .

         Alors à toute particule de quantité de mouvement p il peut être associée

         une onde (vitesse de propagation c, longueur d'onde l= h/p  ).

 

- caractérisation d'une onde plane au point (, t) de l'espace

         une onde plane se propageant dans l'espace libre, émise à t=0 à la distance r

         de la source est caractérisée par:

         fréquence n , longueur d'onde l , amplitude A

         phase: a = 2p(r/l - n.t)  qui s'écrit  a = (2p/h).(. - E.t)

         Cette onde plane s'écrit: F(, t) = A.exp[(2p.i/h).(. - E.t)] ,                                                 (14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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4.2 Opérateurs

Le calcul formel ci-dessous permet d'introduire les opérateurs associés aux grandeurs physiques quantité de mouvement p et énergie E.

Calculons les dérivées partielles de la fonction F écrite ci-dessus (Eq. (14), en considérant une onde plane se propageant le long d'un axe:

 

         F(r, t) = A.exp[(2p.i/h).(p.r - E.t)]

         F(r,t)/r = (2ip/h).p.F(r,t)           F(r,t)/t = (-2ip/h).E.F(r,t) .

 

En introduisant la notation h = h/2p, ces expressions s'écrivent:

 

         p.F(r,t) = -i.h.F(r,t)/r            et         E.F(r,t) = i.h.F(r,t)/t .

 

Elles définissent les opérateur p et E par leurs actions sur la fonction F.

         opérateur quantité de mouvement:   p = -i.h./r                                          (15)

         opérateur énergie:………………..  E = i.h./t .                                        (16)

 

4.3 Hamiltonien

L'énergie totale E d'un point matériel a été écrite en mécanique classique sous la forme E=(1/2).m.v2 + V(x, y, z, t)   (V: fonction énergie potentielle).

En faisant intervenir la quantité de mouvement p, il est facile d'obtenir:

         E = p2(r, t)/(2.m) + V(r, t).

Ce calcul formel permet d'écrire une relation entre opérateurs, en désignant par H l'opérateur associé à la grandeur énergie, sous la forme:

 

         H = - h2/2m 2/r2 + V(r, t).  

 

         L'opérateur H est l'Hamiltonien du système.

 

Dans un repère cartésien l'Hamiltonien s'écrit:

 

         H= -h2/2m (2/x2 + 2/y2 +2/z2) + V(x,y,z,t) .

soit

         H = -h2/2m D + V .                                                                                          (17)

 

Les valeurs propres de l'Hamiltonien sont

les valeurs de l'énergie du système.

 

4.4 Notion de "principe" de correspondance

Pour écrire l'Hamiltonien d'un système, nous utiliserons la méthode appliquée ci-dessus:

         1) Ecrire l'expression de l'énergie totale H en mécanique classique

         2) Remplacer chaque grandeur par l'opérateur correspondant.

la même "méthode" sera appliquée aussi pour chaque grandeur physique.

 

(Cette méthodologie est souvent qualifiée de "principe de correspondance")

 

            Mécanique Quantique (974 pages) (Dunod 1964), A. Messiah

            Mécanique Quantique (718 pages) (Mir 1967), L. Lando, E. Lifchitz

            Mécanique Quantique (890 pages) (Hermann 1997), C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë

            Quantum Oscillators (647 pages) (Wiley 2011), O. Henri-Rousseau, P. Blaise, (http://lamps.univ-perp.fr)

 


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Exercices  Chapitre A

 

Exercice 1- Pour étudier l'émission d'électrons par un métal, l'expression du potentiel V auquel sont soumis ces électrons peut en première approximation s'écrire:

         V = -V0 à l'intérieur du métal                     V

         V = 0 à l'extérieur du métal

 

                                                                     0                  x

                                            

                                                                          -V0

                                                        métal                        extérieur

 

Ecrire l'Hamiltonien d'un électron dans le métal.

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Exercice 2- Quelles sont les fonctions propres de l'opérateur position x ?

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Exercice 3- Trouver l'expression des coordonnées (Lx, Ly ,Lz ) de l'opérateur L, opérateur associé à la grandeur moment cinétique.

solution

En mécanique classique la grandeur moment cinétique est   =  .

Les coordonnées des opérateurs associés à  et à  sont respectivement:

 (x, y, z)  et  (-ih./x, -ih./y, -ih./z ).

Le calcul formel du produit vectoriel donne les expressions des opérateurs:

         Lx = -ih.(y./z - z./y ) noté aussi -ih.(y.pz - z.py )

         Ly = -ih.(z./x - x./z ) noté aussi -ih.(z.px - x.pz )

         Ly = -ih.(x./y - y./x ) noté aussi -ih.(x.py - y.px )

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Exercice 4. Ecrire l'Hamiltonien d'un hydrogénoïde (atome ayant z protons et un seul électron) en considérant que tous les protons sont "concentrés" au point r = 0. (OM = r).

 

  

Dans un repère polaire (r, q, j) le laplacien s'écrit: 

 

         D = r-2.{/r(r2./r ) + sin-2q.[sinq./q.(sinq./q ) + 2/2j ]

 

         L2 = -h2sin-2q.[sinq./q.(sinq./q ) + 2/2j ]

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Exercice 5- Ecrire l'Hamiltonien de "l'ion moléculaire"  H2+. (noter r1 et r2 les "distances" électron-protons et R la "distance" proton-proton" ).

 

                               

 

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Exercice 6- Ecrire l'Hamiltonien de l'oscillateur harmonique à une dimension.

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Exercice résolu          un modèle de l'atome d'hydrogène

 

La fonction d'onde de l'état fondamental (état de plus basse énergie) de l'électron dans l'atome d'hydrogène peut être écrite

         Y(r,t) = (p.r03)-1/2.exp(-r/r0).exp(-i.E.t/h) 

r0 désigne le rayon de la première orbite dans la théorie de Bohr

r0 = 4.p.e0.h2/(m.e2) , r est la distance électron-noyau, E est l'énergie de l'électron dans cet état.

1 - Calculer la valeur la plus probable de r .

2 - Calculer la valeur moyenne de r.

3 - Calculer la valeur moyenne de l'énergie potentielle V(r) = -(4.p e0)-1 .e2/r  de l'électron.

4 - Ecrire l'expression de l'Hamiltonien de l'électron et calculer la valeur moyenne de l'énergie de l'électron dans cet état.

5 - Quelle relation y-a-t-il entre les valeurs moyennes calculées en 4/ et 5/ ?

 

         résolution:

1- La probabilité pour que l'électron soit dans le volume  4.p .r2.dr est:

         | Y(r,t) |2.4.p .r2.dr = 4/r03.exp(-2r/r0).r2.dr

et le maximum est obtenu pour r = r0  (rayon de Bohr).

2 -Vérifier que

         < r > =  òE Y*(r,t).r.Y(r,t) .4.p .r2.dr      soit      < r > = 3.r0/2 

                     il est bon de savoir que  ò0¥ un.exp(-u).du = n! .

 

3 -     < V > = òE Y*(r,t).[-(4.p e0)-1 .e2/r].Y(r,t) .4.p .r2.dr

         < V > = -e2/(p e0.r03). òE exp(-2r/r0).r.dr          < V > = -e2/(4.p e0.r0)

 

4 -     H = - (h2/2m).D - e2/(4.p e0.r)

 

Le calcul est plus simple dans un repère adapté à la symétrie du système (sphérique ici), le laplacien s'écrit:

 

         D = r-2.{/r(r2./r ) + sin-2q.[sinq./q.(sinq./q ) + 2/2j ]

 

Il faut alors calculer

 

         < E > =  ò0p ò02p ò0¥ Y*(r,t).H.Y(r,t) .r2.sinq.dq.dj.dr

 

                                                                    < E > = - e2/(8.p e0.r0)

 

5 -     < V > = 2.< E >     résultat connu sous le nom de théorème du Viriel. Il est un critère pour voir si une fonction donnée est ou non une bonne approximation de la fonction d'onde.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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Cours de Mécanique Quantique P.M

pour l'Univers Quantique

 

Références

 

1- Hertz H. R., "About an influence of the ultraviolet light on the electrical breaking",

    Annalen der Physik 33, 983 (1887).

 

2- Planck M., "On the law of energy distribution in the normal spectrum",

    Annalen der  Physik 4, 553 (1901).

 

3- Einstein A., "On the electrodynamics of moving bodies",

    Annalen der Physik 17, 891 (1905).

 

4- Bohr N., "On the constitution of atoms and molecules",

    Phil. Mag. 26, 1 (1913).

 

5- Sommerfeld A., "Zur quantentheorie der spektallinien", Annalen der Physik 51, 1

   (1916).

 

6- Heisenberg W., "Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheorischen kinematik

  und mechanik", Zeit. für Phys. 43, 172 (1927).

 

7- Goudsmit L. and Uhlenbeck G. E., "Spinning electrons and the structure of spectra",

    Nature 117, 264 (1926).

 

8- Pauli W., "Atom mit der komplex strucktur der spektrem", Zeit. für Phys. 31, 765

  (1925).

 

9- Schrödinger E., "An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules",

    The Physical Review 28, 1049 (1926).

 

10- L. De Broglie, "A tentative theory of light quanta", Phil. Mag. XLVII, 446-458 (1924).

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                     cours

 

______________________________________________________________________Fin du Chapitre A_____