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Cours de Mécanique Quantique P.M

pour l'Univers Quantique

Chapitre B

etude des systèmes ayant une énergie potentielle indépendante du temps

Le chapitre A nous a entraîné à travers une étude du formalisme de la mécanique quantique à découvrir son contenu, à préciser l'espace de Hilbert contenant les fonctions d'onde et à introduire des opérateurs associés à chaque grandeur physique.

Nous avons appris à décrire l'état d'un système dès que sa fonction d'onde est connue.

Dans ce chapitre nous étudions les systèmes dont l'énergie potentielle est indépendante du temps. De tels systèmes sont nombreux, atomes, molécules, particules à faible énergie, composants optoélectroniques, circuit photonique.

1. Recherche des fonctions d'onde

Pour ces systèmes, les fonctions d'onde s'écrivent sous la forme Y(q,t) et le terme potentiel V(q).

1.1 Recherche des fonctions d'onde: solutions particulières

L'équation de Schrödinger s'écrit

-h²/(2m).DY(q,t) + V(q).Y(q,t) = i.h.¶Y(q,t)/¶t. (18)

Il est alors possible de rechercher des solutions à variables séparées puisque le terme potentiel ne contient pas la variable t, sous la forme

Y(q,t) = y(q).j(t) .

L'équation (18) peut alors être écrite sous une forme à variables séparées:

- [-h²/(2m).Dy(q) + V(q).y(q)]/y(q) = [i.h.dj(t)/dt]/j(t).

Les variables {q} et t étant indépendantes, les deux membres de cette égalité sont égaux à une constante que nous notons E, nous obtenons les deux équations (19) et (20):

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i.h.dj(t)/dt = E.j(t) (19)

-h²/(2m).Dy(q) + V(q).y(q) = E.y(q) . (20)

L' équation (19) se résout simplement: j(t) = exp(-i./h.E.t) et nous reconnaissons l'Hamiltonien

H = -h²/(2m).D + V au premier membre de l'équation (20).

Les solutions de l'équation de Schrödinger pour ces systèmes sont obtenues sous la forme:

Y(q,t) = y(q).exp(-i./h.E.t) (21)

avec y(q) fonction propre de l'Hamiltonien:

H y(q) = E.y(q) (22)

L'équation (22) confirme que la constante E est une valeur propre H, elle représente l'énergie du système.

A chaque valeur propre {E₁, E₂, … E_n} de l'énergie correspond une solution particulière

{Y₁(q,t), Y₂(q,t), … Y_n(q,t) } .

1.2 Solution générale de l'équation de Schrödinger pour ces systèmes

La méthode précédente permet d'introduire un ensemble de solutions particulières de l'équation de Schrödinger. L'équation étant linéaire, nous pourrons chercher la solution générale sous la forme d'une combinaison linéaire de ces solutions particulières.

La solution générale de l'équation de Schrödinger s'écrit sous la forme:

Y(q, t) = S_n a_n.y_n(q).exp(-i./h.E_n.t) (23)

y_n(q) est la fonction propre de l'Hamiltonien, associée à la valeur propre E_n .

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Deux problèmes fondamentaux en mécanique quantique:

1 - Trouver les niveaux d'énergie d'un système: c'est résoudre

l'équation aux valeurs propres de l'Hamiltonien

de bons programmes de calculs sont publiés sur Internet!!

2 - Trouver les fonctions d'onde pour pouvoir calculer les valeurs

moyennes des autres grandeurs physiques.

1.3 Etude des états stationnaires

Calculons la fonction densité de probabilité. En utilisant l'équation (23) elle prend la forme:

Y*(x,t).Y(x,t) = [S_n a_n*y_n*(x)exp(i./h.E_n.t)].[ S_n' a_n'y_n'(x)exp(-i./h.E_n'.t)]

Y*(x,t).Y(x,t) = S_n a_n*a_n*.y_n*y_n + S_n,n'a_n*a_n'*.y_n*y_n'.exp(i./h.(E_n-E_n')t) .

Cette expression dépend en général du temps: le système évolue.

La densité de probabilité Y*(x,t).Y(x,t) est indépendante du temps uniquement si tous les coefficients a_n sont nuls sauf un, soit a_j ce coefficient.

La fonction d'onde du système dans un état stationnaire s'écrit alors:

Y(x,t) = y_j(x).exp(-i./h.E_j.t) .

Le système n'évolue plus. Il est dans un état stationnaire.

Le système est dans l'état propre de H d'énergie Ej .

(Ce résultat ne doit pas nous surprendre si nous nous rappelons la signification des coefficients a_n ).

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2. Etude d'un exemple: oscillateur harmonique

Cette notion d'oscillateur est importante puisqu'elle apparaît dans les études de spectres de vibration des molécules, dans les études des liaisons cristallines, dans les études de structures cristallines … .

Il est possible de représenter le "système" oscillateur comme constitué d'une particule M de masse m animée sur un axe Ox d'un mouvement sous l'action d'une force dirigée suivant Ox , F = -k.x .

L'équation de Newton du mouvement permet de trouver la fréquence f₀ de ce mouvement en fonction des constantes k et m:

m.d²x/dt² = -k.x soit f₀² = k/(4p².m) .

L'énergie potentielle de la masse m s'écrit:

V(x) = 2.p².m.f₀².x² .

L'énergie de l'oscillateur est reliée à la valeur de sa fréquence d'oscillation.

2.1 Equation aux valeurs propres de l'Hamiltonien

L'Hamiltonien s'écrit: H = -h²/(8mp²).d²/dx² + 2.p².m.f₀².x². (24)

L'équation aux valeurs propres de l'Hamiltonien Hy(x) = E.y(x) peut alors se mettre sous la forme:

d²y(x)/dx² + (l-a².x²)y(x) = 0 (25)

avec l=2mE/h², a²=4.p².m².f₀²/h². (26)

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2.2 Fonctions propres, valeurs propres

L'équation (25) ne se résout pas simplement.

Une résolution est indiquée en Appendice B.

Donnons ici le résultat.

L'expression des fonctions propres de l'Hamiltonien fait intervenir les polynômes de Hermite: H_n(.x) de degré n .

Ce sont les conditions de convergence pour x grand qui introduisent ces polynômes. Ces conditions imposent la relation:

l = (2n+1)a. (27)

Les fonctions propres de l'Hamiltonien sont sous la forme:

y_n(x) = H_n(x) exp(-a.x²/2) . (28)

qui donne la suite des valeurs de l'énergie de l'oscillateur:

E_n = (n+1/2).h.f₀ . (29)

Le formalisme a conduit à décrire la quantification des niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique.

2.3 Fonction d'onde

La fonction d'onde de l'oscillateur dans l'état d'énergie E_n s'écrit:

Y(x,t) = H_n(x).exp(-a.x²/2).exp(-i.p(2n+1)f₀.t) .

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3. La mesure d'une grandeur

Montrons qu'une mesure effectuée sur un système induit une perturbation du système.

Soit Y(q,t) la fonction d'onde du système étudié (atome, molécule … ). Nous savons (Chapitre A, 3.4) calculer la valeur moyenne d'une grandeur physique a (position, impulsion, moment cinétique, énergie, …) en utilisant l'interprétation probabiliste de Y(q,t):

< a > = ò_E Y(q,t)*.[A Y(q,t)].dq .

Supposons que nous mesurions a (avec un appareil infiniment précis), alors le résultat de la mesure est une valeur propre de l'opérateur A associé, soit: a_i .

Cela signifie (Ch.A, 3.4 )) que après la mesure, la fonction d'onde est la fonction propre j_i vérifiant l'équation A.j_i = a_i.j_{i .}

Retenons que l'appareil de mesure

a modifié l'état dynamique du système.

Il n'est pas possible de prédire l'état d'un système, mais tout au plus d'en donner une probabilité.

3.1 Problème de la mesure

Considérons un système à un degré de liberté, état décrit par Y(x,t), et deux grandeurs physiques, quantité de mouvement p_x et position x par exemple. Nous savons calculer les probabilités de trouver la quantité de mouvement p_x et la position x dans la fenêtre dp_x et dx, elles s'écrivent:

| Y(x,t) |².dx et | Y(x,t) |².dp_x .

Des mesures consécutives de ces deux grandeurs ne peuvent pas être faites sur le même état du système puisque la première mesure perturbe le système, ce qui modifie la fonction d'onde. Les valeurs moyennes calculées avant et après la mesure ne seront donc pas identiques.

Le principe d'incertitude de Heisenberg nous dit qu'entre les écarts Dx et Dp_x il y a la relation:

Dx.Dp_x ³ h/2 . (30)

p_x et x sont deux grandeurs conjuguées (voir équations de Hamilton en mécanique classique). Et bien, cette relation d'incertitudes se retrouve entre toutes les grandeurs conjuguées, par exemple:

DE.Dt ³ h/2 .

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3.2 Grandeurs simultanément mesurables

Cherchons maintenant à quelle condition deux grandeurs a et b sont simultanément mesurables.

Nous avons montré (Ch A 3.4) qu'une mesure précise de a modifie l'état du système, puisque après la mesure, la fonction d'onde devient une fonction propre j_a de A:

A.j_a = a.j_{a .}

Une mesure précise de b, réalisée alors, modifie la fonction d'onde qui devient une fonction propre j_b de B:

B.j_b = B.j_{b .}

Pour que les deux grandeurs soient simultanément mesurables dans un état donné du système, il faut que l'état soit décrit pas la même fonction d'onde quand on mesure a puis b ou b puis a. Cela signifie que la mesure ne doit pas modifier l'état du système. Cette condition est réalisée lorsque la fonction d'onde est une fonction propre j_ab de a et de b:

A.j_ab = a.j_ab

B.j_ab = b.j_{ab .}

Il ressort une propriété des opérateurs A et B. Elle se montre simplement en faisant agir successivement ces opérateurs pour obtenir:

B.A.j_ab = b.a.j_ab

A.B.j_ab = a.b.j_ab

et par différence:

(A.B - B.A).j_ab = 0 Þ A.B - B.A = 0

le commutateur des opérateurs est nul, ce qui s'écrit:

[A,B] = 0 . (31)

Les opérateurs associés à deux grandeurs

simultanément mesurables commutent.

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3.3 Ensemble complet d'observables

Nous appellerons ensemble complet d'observables une famille de grandeurs physiques dont la connaissance suffit à définir l'état dynamique du système étudié.

Soit {a,b,c, …,g} un tel ensemble complet.

Pour définir l'état du système il faut pouvoir mesurer simultanément ces observables.

Les opérateurs associés doivent posséder un ensemble commun de fonctions propres, ensemble complet:

{ j_abc…g }.

Le système est alors spécifié par la donnée des nombres quantiques a_i, b_i, c_i, …g_i , valeurs propres respectives des opérateurs A, B, C, … G .

3.4 Exemple: grandeurs "position" et "quantité de mouvement"

Pour étudier la question de la mesure de ces grandeurs, il est possible de considérer encore un système à un seul degré de liberté x .

Les opérateurs associés sont notés respectivement x et p_x .

Il faut calculer le commutateur [p_x , x] de ces opérateurs.

Pour cela il suffit de faire agir ces opérateurs sur une fonction f(x):

(p_x.x - x.p_x).f(x) = -i.h (d(x.f)/dx - x.df/dx)

(p_x.x - x.p_x).f(x) = -i.h.f(x).

Entre opérateurs cette relation s'écrit:

[p_x, x] = -i.h (32)

"position" et "quantité de mouvement"

ne sont pas simultanément mesurables.

Avec des coordonnées indépendantes (x₁, x₂, x₃) ce résultat peut être écrit:

[p_k , x_j] = (-i.h).d_kj (33)

en utilisant la notation suivante: d_kj = 1 si k=j et d_kj = 0 si k est différent de j .

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4. Notion de constantes du mouvement

Cherchons quelle est la relation vérifiée par l'opérateur A associé à la grandeur physique a, constante du mouvement. Considérons le cas où l'opérateur A ne dépend pas du temps < ¶A/¶t > = 0.

Pour trouver cette relation il suffit d'écrire que la valeur moyenne de a ne varie pas au cours du temps (d/dt.<a> = 0).

En prenant quelque liberté avec l'écriture mathématique:

d<a>/dt = ò_E ¶Y*/¶t.A.Y.dq + ò_E Y*.A ¶Y/¶t].dq (34)

Tenons compte que ces opérateurs sont hermitiques (ChA 3.6) et du fait que Y(q,t) est solution de l'équation de Schrödinger

i.h. ¶Y/¶t = HY

l'équation (33) s'écrit sous la forme:

d<a>/dt = -i/h ò_E Y*[-H.A + AH].Y.dq = 0 .

Nous voyons que la condition pour qu'une grandeur "a"

soit une constante du mouvement s'écrit simplement

[A , H] = 0 . (35)

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Exercices Chapitre B

Exercices Résolus

Exercice B1

Pour l'étude de l'émission d'électrons par un métal, il est nécessaire de tenir compte du fait que les électrons, ayant une énergie E suffisante pour quitter le métal, peuvent être réfléchis par la surface métallique.

Un modèle simple du potentiel (exercice 1 p13 Ch A) peut être pris:

V = -V₀ à l'intérieur du métal

V = 0 à l'extérieur du métal.

Déterminer le coefficient de réflexion à la surface du métal pour un électron d'énergie E > 0 eV.

solution

Le système étudié est constitué d'un électron dans le métal. (voir exercice 1 Ch A).

Déterminons les états stationnaires d'énergie E du système. Pour cela, résolvons l'équation aux valeurs propres de l'hamiltonien . La discontinuité du potentiel conduit à considérer deux cas:

i) x < 0

l'équation aux valeurs propres s'écrit:

-h²/(2m).d²y₁(x)/dx² - V₀.y₁(x) = E.y₁(x)

la solution générale est de la forme:

y₁(x) = A.exp(i.a.x) + B.exp(-i.a.x) avec a² = 2m(E+V₀)/h²

ii) x > 0

l'équation aux valeurs propres s'écrit

-h²/(2m).d²y₂(x)/dx² = E.y₂(x)

et la solution générale est de la forme:

y₂(x) = C.exp(i.k.x) + D.exp(-i.k.x). avec k² = 2mE/h^{2 .}

Le coefficient de réflexion est R défini par R = (B / A)² .

Les constantes A, B, C, D sont à déterminer en considérant que le milieu extérieur est infini et les exigences de continuité des fonctions ici en x = 0.

Condition aux limites

- à l'extérieur du métal il n'y a qu'une onde transmise "métal vers extérieur" : D = 0 .

- en x=0 pour avoir une "bonne" fonction (!!) il suffit d'écrire les conditions de continuité de la fonction et de ses dérivées premières:

y₁(0) = y₂(0) et dy₁(x)/dx = dy₂(x)/dx

^{x=0 x=0}

soit: A + B = C et a (A - B) = k.C

et A = C.(a + k) / 2a soit B = A.(a - k) / (a + k) .

Le coefficient de réflexion R = (B / A)² et obtenu: R = V₀² / [(E+V₀)^1/2 + E^1/2 ]⁴ .

Application: E = 1eV , V₀ = 10eV soit R = 0,287 .

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Exercice B2

L (L_x, L_y, L_z) étant l'opérateur moment cinétique d'une particule, établir .

* les règles de commutation entre les composantes

** les règles de commutation entre L² et les composantes (L_x, L_y, L_z)

*** conclusion ? (problème de la mesure).

Recherchons une expression de ces opérateurs.

En mécanique classique la grandeur moment cinétique est écrite sous forme d'un produit vectoriel.

Les opérateurs associés ont pour coordonnées (x, y, z) et (-ih.¶/¶x, -ih.¶/¶y, -ih.¶/¶z ).

Le calcul formel (exercice 3 Ch A) du produit vectoriel donne les expressions des opérateurs:

Lx = -ih.(y.¶/¶z - z.¶/¶y ) noté aussi (y.p_z - z.p_y )

Ly = -ih.(z.¶/¶x - x.¶/¶z ) noté aussi (z.p_x - x.p_z )

Ly = -ih.(x.¶/¶y - y.¶/¶x ) noté aussi (x.p_y - y.p_x ) .

*Règles de commutation entre les composantes.

Il faut faire le calcul des commutateurs [L_x,L_y], [L_y,L_z], [L_z,L_x] .

Ce calcul nécessite un peut d'attention et l'usage des relations (33),

Par exemple:

[L_x,L_y] = L_x.L_y - L_y.L_x

L_x,L_y] = (y.p_z - z.p_y ).(z.p_x - x.p_z ) - (z.p_x - x.p_z ).(y.p_z - z.p_y )

L_x,L_y] = yp_zzp_x - yp_zxp_z - zp_yzp_x + zp_yxp_z - zp_xyp_z + zp_xzp_y + xp_zyp_z - xp_zyp_y)

L_x,L_y] = yp_x(p_zz - zpz) + p_yx(zp_z - p_zz)

L_x,L_y] = y.p_x.(p_z , z] - p_y.x.(p_z , z].

Cette relation peut être écrite:

[L_x,L_y] = i.h.L_{z .}

Un calcul analogue conduit aux expressions des commutateurs:

[L_y,L_z] = i.h.L_x et [L_z,L_x] = i.h.L_y .

Elles sont souvent résumées par l'écriture:

L Ù L = i h L .

Les opérateurs Lx, Ly ,Lz ne commutent pas entre eux.

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** Règles de commutation entre L² et les composantes (L_x, L_y, L_z).

Les calculs suivants sont simples:

L² = L²_x + L²_y + L²_z

[L², L_x] = [L²_x , L_x] + [L²_y , L_x] + [L²_z , L_x] .

Calculer séparément chaque commutateur:

[L²_x , L_x] = 0,

[L²_y , L_x] = L_y .[L_y , L_x] + [L_y , L_x].L_y

[L²_y , L_x] = - i.h.(L_y.L_z + L_z.L_y)

[L²_z , L_x] = i.h.(L_y.L_z + L_z.L_y).

Ces expressions conduisent à [L², L_x] = 0.

Des calculs analogues conduisent aux résultats suivants [L², L_y] = 0 et [L², L_z] = 0.

L² commute avec ses composantes L_x, L_y, L_z .

*** Conclusion.

L² est simultanément mesurable avec chacune de ses composantes.

Mais les composantes ne sont pas simultanément mesurables.

Il est donc possible de connaître au plus L² et une de ses composantes,

cette composante sera notée L_z .

Exercice B3

Valeurs propres et fonctions propres des opérateurs L² et L_z.

Considérons le moment cinétique d'une particule située au point (x, y ,z) et travaillons dans un repère polaire

x = r.sinq.cosj, y = r.sinq.sinj, z = r.cosq .

Les expressions* de ces opérateurs s'écrivent

L_z = -i.d/dj

L² = -h²sin^-2q.[sinq.¶/¶q.(sinq.¶/¶q ) + ¶²/¶²j ]

Les solutions de ce système d'équations aux valeurs propres sont les fonctions "Hamoniques* Sphériques" notées Y_l^m(q,j) :

L².Y_l^m(q,j) = l(l+1).h².Y_l^m(q,j) l étant un nombre entier positif ou nul

Lz.Y_l^m(q,j) = m.h.Y_l^m(q,j) m étant un nombre entier compris entre -l et l .

Quelques expressions sont écrite en APPENDICE B

Un bon entraînement: vérifier ces équations aux valeurs propres en utilisant quelques fonctions Y_l^m .

* Ces expressions se trouvent sur "Internet" dans "la littérature".

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APPENDICE B

2.2 Résolution de l'équation aux valeurs propres de l'oscillateur harmonique

d²y(x)/dx² (l-a².x²)y(x) = 0 (1)

avec l=2mE/h², a²=4.p².m².f₀²/h². (2)

Nous ne voulons pas toutes les solutions de l'équation (1), mais uniquement les fonctions de carré sommable .

Cherchons pour x grand quelle est la forme des solutions de (1), notons y_¥ (x) ces fonctions.

Comportement asymptotique de y(x) .

Lorsque x est grand le terme l est très inférieur à a².x² , il peut être négligé. L'équation (1) s'écrit

d²y_¥(x)/dx² = a².x².y_¥(x). (3)

Il est simple de vérifier que pour x grand, avec a << a².x², la fonction y_¥(x) = exp(-a.x²/2) est solution de l'équation (1) .

Résolution de l'équation aux valeurs propres (1)

Le point de départ consiste à imposer le comportement pour x grand en recherchant des solutions de l'équation (1) de la forme

y(x) = f(x).exp(-a.x²/2).

L'équation (1) s'écrit alors:

d²f(x)/dx² - 2^.a.x.df(x)/dx + (l-a).f(x) = 0. (4)

La méthode générale conduit à chercher une solution sous la forme d'une série entière f(x) = S_na_n.xⁿ .

Reportons f(x) dans l"équation (19) et en identifiant les puissances de x nous obtenons les relations entre coefficients de la série:

1.2.a₂ + (l-a).a₀ = 0

2.3.a₃ - 2a.a₁ + (l-a).a₁ = 0

…

(n+1)(n+2).a_n+2 - 2.a.n.a_n + (l-a).a_n = 0 .

...

La relation de récurrence donnant les coefficients de la série s'écrit

a_n+2 = [(2na-l+a)/(n+1)(n+2)].a_n . (5)

Pour n grand le rapport des coefficients a_n+2 / a_n » 1/n indique une série divergente (rapport en 1/n).

Pour ne retenir que les solutions physiquement acceptables (de carré sommable) il faut tronquer à un ordre n le développement de la série en imposant a_n = 0, et choisir pour solution des polynômes.

Ce choix impose entre l et a la relation suivante

.(2na-l+a) = 0 (6)

La solution est donc un polynôme de puissance n.

Ces polynômes sont appelé polynômes de Hermite, ils sont bien connus et notés H_n(x) .

En remplaçant l et a par leurs expressions (2), la relation (6) s'écrit:

2mE/h² = (2n+1)2.p.m.f₀/h

et donne la suite discrète des valeurs de l'énergie E:

E_n = (n+1/2).h.f₀. (7)

Les solutions de l'équation (1) s'écrivent:

y_n(x) = H_n(x).exp(-a.x²/2) . avec a = 2mE_n/h²

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Hydrogénoïdes: quelques fonctions radiales R_n^l(r)

(z protons, u = r.z/a, a rayon de Bohr)

n=1 l=0 R₁⁰ = (z³/p.a³)^1/2.exp(-u)

n=2 l=0 R₂⁰ = (z³/2p.a³)^1/2.(2-u)/4.exp(-u/2)

l=1 R₂¹ = (z³/6p.a³)^1/2.(u/4).exp(-u/2)

n=3 l=0 R₃⁰ = (1/9).(z³/3p.a³)^1/2.(3-2u+2u/9)u/4).exp(-u/3)

:

Quelques Harmoniques Sphériques Y_l^m(q, j)

Y₁⁰ = (3/4p)^1/2 cosq Y₁¹ = (3/8p)^1/2 sinq.exp^ij

Y₂⁰ = (5/16p)^1/2 (3cos²q - 1) Y₂¹ = - (15/8p)^1/2 sinq cosq.exp^ij

. Y₃⁰ = (7/16p)^1/2 (5cos²q - 3cosq) Y₃² = (105/32p)^1/2 sin²q cosq exp^2ij

Y₃³ = (35/64p)^1/2 sin²q exp^3ij

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cours

________________________________________-29-______________________Fin du Chapitre B_____