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Chapitre D

Etude du moment angulaire

 

1. DEFINITION

 

1.1 Moment angulaire orbital

L'opérateur moment cinétique ou moment angulaire orbital L d'une particule au point (x, y, z) a été défini suivant trois directions x, y, z et par ses composantes Lx, Ly, Lz,  (ChA, exercice 3) et étudié (ChB, exercice B1):

         Lx = -ih.(y./z - z./y )

         Ly = -ih.(z./x - x./z )                                                                                                     (2)

         Ly = -ih.(x./y - y./x ) .

Les règles de commutation entre ces composantes ont été établies:

         [Lx,Ly] = i.h.Lz

         [Ly,Lz] = i.h.Lx                                                                                                                  (3)

         [Lz,Lx] = i.h.Ly 

IL a été montré que l'opérateur L2 commute avec ces composantes:

         [L2, Lx] = 0

         [L2, Ly] = 0                                                                                                                        (4)

         [L2, Lz] = 0.

Le carré du moment angulaire ( L2 ) est simultanément mesurable avec chacune des composantes ( Lx, Ly ,Lz ) mais ces composantes n'étant pas simultanément mesurables, il est possible de connaître au plus L2 et une de ces composantes (qui est notée Lz par convention).

 

1.2. Opérateur de spin

Nous avons montré que les relations (2) de définition du moment cinétique entraînent les règles de commutations (3).

Notons que réciproquement (3) n'entraîne pas (1).

Parmi les opérateurs dont les composantes vérifient les règles de commutation (3-4) il y a des opérateurs autres que les opérateurs de moment cinétique:

 

                                             ce sont les opérateurs de spin.

 

 

 

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2. Etude du moment angulaire généralisé

 

Ce paragraphe a pour objet l'étude de tous les opérateurs à caractère vectoriel vérifiant les règles de commutation (3).

 

2.1 Définitions

L'opérateur moment angulaire J est un opérateur vectoriel hermitique à trois composantes ( Jx, Jy, Jz ) vérifiant les relations de commutation suivantes:

 

         [Jx, Jy] = i h Jz ,            [Jy, Jz] = i h Jx              [Jz, Jx] = i h Jy .                                              (5)

 

Par définition du moment angulaire, les opérateurs Jx, Jy, Jz ne commutent pas.

 

Il est simple de vérifier que l'opérateur J2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 commute avec Jx, Jy, et Jz  .

 

         [J2 , Jx] = 0                   [J2 , Jy] = 0                   [J2 , Jz] = 0 .                                                  (6)

 

Le carré du moment angulaire ( J2 ) est simultanément mesurable avec chacune des composantes ( Jx, Jy ,Jz ) mais ces composantes n'étant pas simultanément mesurables, il est possible de connaître au plus J2 et une de ces composantes (qui est notée Jz par convention).

 

L'étude d'un opérateur consiste tout d'abord en la recherche de ses valeurs propres et de ses fonctions propres.

 

Pour ne pas entre-couper cette recherche, montrons quelques relations fondamentales

 - de démonstrations simples - que nous établissons ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

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2.2 Relations fondamentales

Expression de J2 

Introduisons deux opérateurs adjoints l'un de l'autre

         J+ = Jx + i.Jy                 et                     J- = Jx - i.Jy                                                               (7)

et résolvons en Jx et Jy pour obtenir

         Jx = ( J+ + J- ) / 2         et                     Jy = (J+ - J- ) / 2i .                                                     (8)

Il est alors simple de mettre J2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 sous la forme:

         J2 = (J+J- + J-J+)/2 + Jz2                                                                                                    (9)

 

Théorème 1

Développons

                     J+.J- = (Jx + iJy ).(Jx-iJy)

                     J+.J- = Jx2 + Jy2 + i(JyJx - JxJy )

soit:

                     J2 = J+-J- + Jz2 - h.Jz                                                                                              (10)

 

Un calcul analogue en développant J-J+ conduit à la relation

 

                     J2 = J-J+ + Jz2 + h.Jz .                                                                                            (11)

 

Théorème 2

L'opérateur J2 commute avec Jx et Jy, les deux égalités suivantes sont évidentes:

 

                     [J2 , J+] = 0                 et                     [J2 , J-] = 0 .                                                 (12)

 

Théorème 3

Calcul des commutateurs de Jz avec J+ puis avec J- :

 

[Jz , J+] = [Jz, (Jx+iJy)]                       soit       [Jz , J+] = [Jz, Jx] + i.[Jz, iJy]

[Jz , J+] = ih Jy + i(-ih Jx)        soit                  [Jz , J+] = h.J+ .                                                        (13)

Par un calcul analogue:                                  [Jz , J-] = - h.J+ .                                                       (14)

(13) et (14) peuvent se mettre sous les formes:

         Jz.J+ = J + (Jz + h)                   Jz.J- = J- (Jz - h) .                                                                 (15)

 

 

 

 

 

 

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2.3 Valeurs propres, fonctions propres des opérateurs moment angulaire

Nous avons montré (Eq. (6) que les opérateurs J2 et Jz commutent. Il est donc possible de trouver un ensemble de fonctions, fonctions propres de J2 et Jz .

 

Notons k.h2 et m.h les valeurs propres associées à la fonction propre ykm

 

         Jz .ykm = m.h ykm                                                                                                               (16)

 

         J2 .ykm = k.h2 ykm                                                                                                               (17)

 

Nous devons chercher quelles sont ces valeurs propres k.h2 et m.h .

(Notons que k.h2  étant valeur propre de J2 , k est positif).

 

Les fonctions J+ykm et J-ykm sont fonctions propres de J2 et Jz:

**montrons que J+ykm est fonction propre de J2 avec la valeur propre  k.h2 .

J2 commute avec J+ (Relation (12)), ce qui permet d'écrire:

J2 J+ ykm = J+ J2 ykm            soit                  J2 [J+.ykm ] = k.h2 [J+ ykm ] .                                  (18)

Un calcul semblable conduit à

                                                                    J2 [J-.ykm ] = k.h2 [J- ykm ] .                                              (19)

**montrons que J+ykm et J-ykm sont des  fonctions propres de Jz avec la valeur propre  (m+1).h .

En utilisant les relations (15) il est simple d'obtenir:

Jz J+ ykm = J+ (Jz + h ) ykm )                         soit       Jz [J+ ykm ] = (m + 1 )h[J+ ykm ] .                      (20)

J+ ykm est fonction propre de Jz avec la valeur propre (m + 1 )h

Et de même

                                                                    Jz [J- ykm ] = (m - 1 )h [J- ykm ] .                                  (21)

J- ykm est fonction propre de Jz avec la valeur propre (m - 1 )h.

 

 

 

 

 

 

 

 

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Normes des fonctions propres.

Ces fonctions propres peuvent donc être écrites à un coefficient de normalisation près, respectivement C+ et C- , sous la forme suivante:

 

         J+ ykm  = C+ ykm+1                 et                     J- ykm  = C- ykm-1                                               (22)

 

Pour déterminer ces coefficients C+ et C- , il suffit de calculer les normes de ces fonctions:

         | C+ |2 = òE (J+ ykm )*(J+ ykm) dq

 

                   = òE ykm*(J-J+ ) ykm dq

 

                   = òE ykm*(J2 - Jz2 - h.Jz ) ykm dq

 

                   = (k - m2 - m) h2 òE ykm* ykm dq

 

         | C+ |2 = (k - m2 - m) h2 .                                                                                                      (23)

 

De même il est possible de calculer:

 

         | C- |2 = (k - m2 + m) h2 .                                                                                                      (24)

 

Etude des bornes de m

Un module étant positif ou nul, par somme de (23) et (24) il vient

 

         | C+ |2 + | C- |2 = (k - m2 ) h2  ³ 0  .                                                                                      (25)

 

Cette équation montre que pour k donné, m présente une plus grande valeur ( m> ) et une plus petite valeur ( m< ).

 

 

 

 

 

 

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Retenant que les relations (22) permettent de passer d'une valeur m à une valeur augmentée ou diminuée de 1, il est déduit que

 

         J+ ykm>  = 0                            J+ ykm<  = 0

 

ce qui entraîne les relations

 

         (k - m>2 - m>) = 0                                                                                                                (26)

         (k - m<2 + m<) = 0.                                                                                                              (27)

 

Ce système d'équation a deux solutions qui s'écrivent m< = - m>  et  m< = - m> + 1 dont seule la première est acceptable, notons

 

 m> = j,     alors       m< = -j   et   k = j(j+1) .

 

De plus, nous devons passer de la valeur m< à la valeur m> par la relation (22) appliquée successivement , donc en ajoutant plusieurs fois 1 à m<: cela impose que

j est soit un nombre entier, soit un nombre demi-entier.

 

En conclusion

Les équations aux valeurs propres des opérateurs "moment angulaire" s'écrivent

 

       J2 yjm = j(j+1) h 2 ykm                        j et m étant des nombres entiers ou demi-entiers

 

       Jz yjm = m.h ykm                     m étant compris entre  -j  et  +j  .

 

 

 

 

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2.4 Remarque et notations

 La notation  yjm d'une fonction propre signifie uniquement que cette fonction dépend des deux indices j et m .dont les valeurs caractérisent l'état propre correspondant. Aussi est-il souvent pratique de ne pas utiliser le symbole y et de noter simplement  | j m > cet état .  Nous parleront du ket | j m >.

         J2 | j m >  =  j.(j + 1).h2 | j m >                                                                                         (28)

         Jz | j m >  =  m.h  | j m > .                                                                                                 (29)

 

Pour les opérateurs de moment cinétique L2 et Lz, les équations aux valeurs propres peuvent s'écrire:

 

         L2 | l m >  =  l.(l + 1).h2 | l m >

         Lz | l m >  =  m.h  | l m > .

 

Les harmoniques sphériques Ylm(q, j ) sont les expressions de ces kets propres  | l m > dans un référentiel polaire et la notation devient:

 

         Ylm(q, j ) = < r, q, j  | l m >  .

 

 

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___________________________________________________Fin du chapitre D_________________